Моделирование продольного движения

Продольное движение по первичным и вторичным параметрам. Анализ структуры векторного уравнения собственного продольного движения са­молета (2.110) показывает возможность его дальнейшего упрощения. Это обусловлено тем, что первые четыре параметра вектора переменных со­стояния продольного движения хп (приращения угловой скорости тангажа Дсо2, углов атаки Да и тангажа Ди, а также скорости ДУ) не зависят от последних трех параметров продольного движения (приращений угла наклона траектории Д9, высоты ДН и пройденного расстояния ДЬ). Поэтому вектор хп целесообразно разделить на два: вектор первичных параметров состояния.

[х„1 (t)]T = [Дсо2 (t) Да (t) Ди (t) ДУ (t)] (3.1)

и вектор вторичных параметров состояния

[х„2 (t)]T = [Д0 (I) АН (I) AL (t)] . (3.2)

Тогда собственное продольное движение самолета по первичным пара­метрам описывается следующим уравнением:

*ni(t) =Anlxnl(t). (3.3)

Матрица состояния продольного движения самолета по первичным параметрам

Уравнение (3.3) описывает собственное продольное возмущенное дви­жение самолета, возникновение которого обусловлено начальными возму­щениями Дсо°, Да0, До0 и ДУ°.

Собственное продольное движение самолета по вторичным параметрам описывается уравнением

*„2 (t) = Ап2хп2 (t) + (t), (3.5)

где tlj^ (t)- вектор входа по управляющим воздействиям в виде изменения первичных параметров (u^ (I) = хп1 (t)).

Матрица состояния продольного движения самолета по вторичным параметрам

ае, е О О 0 0 0 аце О 0

Матрица входа по управляющим воздействиям первичных параметре

Уравнение (3.5) описывает собственное продольное возмущенное дві) жение самолета, возникновение которого обусловлено начальными возм| щениями А0°, АН0 и AL0, а также вынужденное движение самолета ІІ вторичным параметрам, вызванное изменением первичных параметров. Ч Быстрое и медленное продольное движение. Применим к уравнению (3.3 преобразование Лапласа: ч

(pi — Ап1)Хп1(р)= 0. Ы

Характеристический определитель уравнения (3.8) имеет вид

<4

Раскрыв определитель и приравняв его нулю, получим характеристЦ

ческое уравнение

А|р4 + А? р3 + А? р2 + А"р + AS = 0 . (3.11

Коэффициенты уравнения определяются следующим образом:

АЗ — 1;

Аз = — V*. — Ча — ^ — ЙЇ: — Mr. + К — Fl — f“

u, a V, v *4» = — *=,МЧ Ъ* ,x=-V.

A", — а,.,

aV, Baa, v ;Va.

+ (Я5 + тж + F“) — F“ (Fl + F”)

A"——- aBVffl1ao, aaV. V -+- аи„«Ау aa“.v

aa,(ozaa>z, aaV, V aa,(OzaV, aaraz, V 3,Vjaftv№&wttVm =

= — F“ (Щ + Mlj(Fl ± J%) — (Mr’ + MrJ (F“ — Ft) X

X (F* + F”) — (M* — M^HF^ + f”) —

— К [(Mr, + MrJ — (F* + F^) M"J;

Ao = ^Vu^u, fflz,a^aу ^

= — КК wl + Mr,) + F® M“z (p; + FVM) . (3.11)

Практика решения характеристического уравнения (3.10) показывает, что оно имеет две пары комплексно-сопряженных корней:

Х1Л = х + iv; Х.3>4. = р. + 1Г).

В этом случае общее решение уравнения (ЗЛО) имеет вид: A(oz (I) = Аш ext (sinVI + (pmJ + A;/1 (sin T]t + (ра) , Aa(t) = Aaext(sinvt + фа) + Aae^(sinr|t + cpa),

AS (I) = АцЄ*1 (sin VI + qv) + А”еи‘ (sinrit+ ф"), AV(t) = Aye^sinvt + фу) + Aye^(sinr|t + cpv),

где постоянные АШг, АШі, фШг, Аа, Аа, ф„, Фа, Ац, А„, ф„, ф„, Av, Av, фу,

фу определяются из начальных условий.

Как видно из (3.13), собственное продольное возмущенное движение самолета представляет собой наложение двух колебательных движений, причем амплитуды колебаний этих движений определяются величинами Ащ ext, А; ец‘, Aaext, А^ец‘, Аие*‘, A’e^, Avext, АуЄц1.

Значение и л представляют собой круговые частоты; фШі, <р^, ф„, ф^, фи, Ф„, Фу, фу-сдвиги фаз. Периоды колебаний равны:

Ті = 2n/v; Т2 = 2яг/г). (3.14)

Исследование динамики продольного движения можно существенно упростить, если выполняется условие разделения двух колебательных движений, выделенных при решении характеристического уравнения. Ус­ловие заключается в существовании значительной разницы в абсолютных значениях корней уравнения. Если абсолютные значения одной пары комплексно-сопряженных корней значительно отличаются от абсолютных значений другой пары комплексно-сопряженных корней, то решения урав­нений и соответствующее им движение для одной лары корней можно рассматривать независимо от решения уравнения и соответствующего им Движения для другой пары корней.

Для того чтобы проверить выполнение условия, необходимо найти эти корни. Для разложения характеристического полинома четвертой степени На два полинома второй степени воспользуемся методом Линна:

(3.16)

Две пары комплексно-сопряженных корней определяются следующим образом:

х,,2 = — в, + VbT7^,

Х3,4 = — Сх ± VC? С"0. (3.18)

Практика расчетов показывает, что для самолетов ГА первая пара корней по модулю более чем на порядок превышает вторую. Вещественная часть комплексного корня характеризует степень затухания, а коэффициент при мнимой части-частоту колебаний. Поэтому большим корням соответ­ствует быстрозатухающее движение с большой частотой и малым перио­дом колебаний. Малым корням соответствует медленнозатухающее дви­жение с малой частотой и большим периодом колебаний.

Быстрозатухающее продольное движение, соответствующее большим., корням характеристического уравнения, является короткопериодическим. Медленнозатухающее продольное движение, соответствующее малым кор­ням характеристического уравнения, является длиннопериодическим.

После нарушения опорного движения короткопериодическое и длин­нопериодическое движения возникают одновременно. Однако сначала пре­обладает движение по углам атаки и тангажа, в то время как скорость, почти не меняется. В дальнейшем заметны только колебания по скорости, и углу наклона траектории.

Короткопериодическое движение-вращательное и связано с наруше­нием равновесия моментов тангажа. Длиннопериодическое движение свя­зано с нарушением равновесия сил, действующих на самолет по продоль­ной оси. Если равновесие моментов обычно наступает через несколько секунд, то установление равновесия сил требует значительно большего времени — десятков секунд. Это дает возможность рассматривать два дви­жения раздельно. Если считать, что в короткопериодическом движении скорость не меняется AV = 0, то уравнение собственного продольного: короткопериодического движения принимает следующий вид:

Вектор параметров состояния продольного короткопериодического дви­жения

[xn.(t)]T = [AcDz(t)Aa(t) АО (t)]. (3.20)

Матрица состояния продольного короткопериодического движения

Продольное длиннопериодическое — движение самолета целесообразно рассматривать по первичному параметру AV и вторичному параметру АЭ. Если считать, что после окончания короткопериодических колебаний A(oz = 0 и Ad = 0, то уравнение собственного продольного длинноперио­дического движения принимает следующий вид:

^ПД (ч) АПДХПД (I) . (3.22)

Вектор параметров состояния продольного длиннопериодического дви­жения

[х„д(1)]т= [AV(t)A0(t)]. (3.23)

Матрица состояния продольного длиннопериодического движения

Продольное траєкторнеє движение самолета. Его целесообразно рас­сматривать по двум вторичным параметрам: АН и AL. Так как эти параметры зависят только от параметров продольного длиннопериоди­ческого движения, то уравнение продольного траекторного движения мож­но исследовать как вынужденное движение, где в качестве управляющих воздействий служат параметры длиннопериодического движения:

хпт (I) = B£„u?;a(t)

где ипД (0-вектор входа по управляющим воздействиям в виде изменения парамет­ров продольного дпиннопериодического движения, причем <д(0 = хпд(р.

Вектор параметров состояния продольного траекторного движения

, [xm(t)]T = [AH(t)AL(t)].

з*

Матрица входа по управляющим воздействиям параметров продольно­го длиннопериодического движения

(3.27)

Уравнения собственного продольного короткопериодического (3.19), длиннопериодического (3.22) и траекторного (3.25) движений позволяют моделировать различные виды продольного движения.

3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Одним из основных свойств, определяющих возможность и безопас­ность полета, является устойчивость. Под устойчивостью самолета пони­мается его способность самостоятельно, без участия пилота, сохранять заданный режим полета и возвращаться к нему после непроизвольного отклонения под действием внешних возмущений. Понятие устойчивости движения включает начальную тенденцию движения самолета после пре­кращения действия возмущения, а также качество процессов возвращения самолета к исходному режиму. Для описания этих двух сторон устойчиво­сти используют понятия статической и динамической устойчивости.